1. Principe des tests statistiques

Les enquêtes statistiques ont généralement pour objectif de comparer les paramètres statistiques déterminés à partir d'échantillons avec une valeur théorique ou bien avec les paramètres d'autres échantillons.

On peut se demander par exemple, si la cote moyenne obtenue sur un échantillon de pièces usinées est compatible avec la norme en vigueur ou bien si un nouveau procédé modifie de façon significative ou non les caractéristiques (quantitatives ou qualitatives) d'un produit. Pour cela on sera amené à faire des hypothèses et à les tester.

Par exemple, la cote moyenne d'un échantillon de 20 pièces (obtenu par tirage au sort) issues d'un lot de fabrication est m= 6,2 mm. On veut savoir si cette valeur est compatible avec la valeur 6 mm indiquée dans le cahier des charges. Il s'agit en fait de vérifier ou d'infirmer l'hypothèse que l'échantillon a été extrait d'une population où la moyenne théorique est µ=6 mm (l'écart type σ de cette population est ici inconnu). Cette hypothèse, appelée hypothèse nulle et notée H0, va nous permettre de réaliser un test basé sur un modèle théorique (distributions d'échantillonnage). Nous verrons que le but d'un test n'est pas en général de vérifier l'hypothèse de départ H0, qui ne correspond qu'à une zone de probabilité définie par une loi de distribution (modèle mathématique), mais de rejeter cette hypothèse avec un risque faible (que l'on saura quantifier). On acceptera alors l'hypothèse contraire (Hypothèse alternative notée H1) selon laquelle l'échantillon ne provient pas de la population de moyenne µ=6 mm. On aura ainsi montré que la différence observée entre les paramètres statistiques (moyenne observée et moyenne théorique) est due, avec un faible risque de se tromper, à autres chose qu'à de simples fluctuations d'échantillonnage.

Le choix de la distribution d'échantillonnage est donc la première étape pour réaliser le test. Dans notre exemple, la variable étudiée (mesure en mm) est une variable quantitative, de type continue. L'échantillon étant de petite taille (n<30), la distribution d'échantillonnage la plus adaptée est donc la distribution de Student. Pour utiliser ce modèle, mous avons vu qu'il faut démontrer (ou supposer) que la distribution du paramètre quantitatif (ici les cotes des pièces usinées) suit une loi Normale dans la population. Supposons donc que la Normalité de la distribution à été démontrée par une étude précédente. A partir de l'échantillon, nous pouvons également estimer l'écart type dans la population (l'estimation sera notée s).

Si la différence entre la moyenne observée et la valeur théorique n'est due qu'à des fluctuations d'échantillonnage (c'est l'hypothèse H0) alors nous avons 95 % de chance que la valeur de la variable se trouve dans l'intervalle ± 2,093, valeur trouvée dans la table de Student avec n-1= 19 degré de liberté.

Si la valeur calculée de t est dans cet intervalle, on acceptera H0, c'est à dire que nous n'aurons pas été capables de mettre en évidence (si elle existe) une différence significative entre la moyenne observée et la moyenne théorique.

Si en revanche, la valeur de t est extérieure à l'intervalle, on rejettera l'hypothèse H0, car la probabilité que les fluctuations d'échantillonnage (5 %) expliquent la différence mesurée est suffisamment faible.

Nous pouvons résumer les 4 étapes d'un test statistique de la façon suivante :

1. Déterminer la loi de distribution théorique permettant d'analyser les fluctuations d'échantillonnage et donc vérifier que l'on est dans les conditions de validité de cette loi (taille de l'échantillon, distribution de la variable, ou autres...)

2. définir une hypothèse à contrôler (H0)

3. Sous cette hypothèse, calculer la valeur de la variable discriminante (t,ε ou autre).

4. Porter un jugement en fonction des risques d'erreur admis.